Approximating factorials in your head

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3D%3D0.23.9%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%3D%3D6.2.1%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%0A%23%20%5Btool.folio.export%5D%0A%23%20slug%20%3D%20%22factorial-approximation%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.9%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Approximating%20factorials%20in%20your%20head%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20math%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20math%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(math)%3A%0A%20%20%20%20MAX_N%20%3D%20200%0A%20%20%20%20MEMORIZED_PRIMES%20%3D%20(2%2C%203%2C%205%2C%207)%0A%0A%20%20%20%20def%20true_log10_factorial(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20math.lgamma(n%20%2B%201)%20%2F%20math.log(10)%0A%0A%20%20%20%20def%20is_easy_anchor(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20n%20%3C%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20remaining%20%3D%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20prime%20in%20MEMORIZED_PRIMES%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20remaining%20%25%20prime%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20remaining%20%2F%2F%3D%20prime%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20remaining%20%3D%3D%201%0A%0A%20%20%20%20EASY_ANCHORS%20%3D%20%5Bn%20for%20n%20in%20range(1%2C%20MAX_N%20%2B%201)%20if%20is_easy_anchor(n)%5D%0A%20%20%20%20ROUND_EASY_ANCHORS%20%3D%20%5Bn%20for%20n%20in%20EASY_ANCHORS%20if%20n%20%25%205%20%3D%3D%200%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20nearest_anchor(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20min(ROUND_EASY_ANCHORS%2C%20key%3Dlambda%20anchor%3A%20(abs(anchor%20-%20n)%2C%20anchor))%0A%0A%20%20%20%20def%20prime_factorization(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B1%3A%201%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20remaining%20%3D%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20factors%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20divisor%20%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20divisor%20*%20divisor%20%3C%3D%20remaining%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20remaining%20%25%20divisor%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20factors%5Bdivisor%5D%20%3D%20factors.get(divisor%2C%200)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20remaining%20%2F%2F%3D%20divisor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20divisor%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20remaining%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20factors%5Bremaining%5D%20%3D%20factors.get(remaining%2C%200)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20factors%0A%0A%20%20%20%20def%20factorization_latex(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20factors%20%3D%20prime_factorization(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20factors%20%3D%3D%20%7B1%3A%201%7D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%221%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parts%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20factor%2C%20power%20in%20factors.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20power%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parts.append(str(factor))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parts.append(rf%22%7Bfactor%7D%5E%7B%7B%7Bpower%7D%7D%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20r%22%20%5Ctimes%20%22.join(parts)%0A%0A%20%20%20%20def%20easy_log_terms_latex(n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20factors%20%3D%20prime_factorization(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20factors%20%3D%3D%20%7B1%3A%201%7D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20terms%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20factor%2C%20power%20in%20factors.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coefficient%20%3D%20%22%22%20if%20power%20%3D%3D%201%20else%20str(power)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20factor%20%3D%3D%205%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20base_term%20%3D%20r%22%5Cleft(1%20-%20%5Clog_%7B10%7D(2)%5Cright)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20base_term%20%3D%20rf%22%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Bfactor%7D)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20terms.append(f%22%7Bcoefficient%7D%7Bbase_term%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22%20%2B%20%22.join(terms)%0A%0A%20%20%20%20def%20memorized_constants(decimal_places)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log2%22%3A%20round(math.log10(2)%2C%20decimal_places)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log3%22%3A%20round(math.log10(3)%2C%20decimal_places)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log7%22%3A%20round(math.log10(7)%2C%20decimal_places)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22stirling%22%3A%20round(math.log10(math.e)%2C%20decimal_places)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20estimated_log10_easy_number(n%2C%20constants)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20factors%20%3D%20prime_factorization(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20any(prime%20not%20in%20MEMORIZED_PRIMES%20for%20prime%20in%20factors)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22%7Bn%7D%20is%20not%20an%20easy%20anchor%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log5%20%3D%201%20-%20constants%5B%22log2%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20factors.get(2%2C%200)%20*%20constants%5B%22log2%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20factors.get(3%2C%200)%20*%20constants%5B%22log3%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20factors.get(5%2C%200)%20*%20log5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20factors.get(7%2C%200)%20*%20constants%5B%22log7%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20anchored_mental_log10_factorial(n%2C%20decimal_places)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20anchor%20%3D%20nearest_anchor(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20constants%20%3D%20memorized_constants(decimal_places)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20anchor_log%20%3D%20estimated_log10_easy_number(anchor%2C%20constants)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20anchor%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20anchor_factorial_log%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20anchor_factorial_log%20%3D%20anchor%20*%20(anchor_log%20-%20constants%5B%22stirling%22%5D)%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20correction_log%20%3D%20(n%20-%20anchor)%20*%20anchor_log%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22anchor%22%3A%20anchor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22anchor_log%22%3A%20anchor_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22anchor_factorial_log%22%3A%20anchor_factorial_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22correction_log%22%3A%20correction_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22estimate%22%3A%20anchor_factorial_log%20%2B%20correction_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22constants%22%3A%20constants%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20scientific_notation_from_log10(log10_value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20log10_value%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%221%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exponent%20%3D%20math.floor(log10_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mantissa%20%3D%2010%20**%20(log10_value%20-%20exponent)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bmantissa%3A.3g%7D%20%C3%97%2010%5E%7Bexponent%7D%22%0A%0A%20%20%20%20def%20trim_decimal(value%2C%20max_decimal_places%3D3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bvalue%3A.%7Bmax_decimal_places%7Df%7D%22.rstrip(%220%22).rstrip(%22.%22)%0A%0A%20%20%20%20def%20chart_rows(decimal_places)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20range(1%2C%20MAX_N%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20true_log%20%3D%20true_log10_factorial(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20candidates%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22True%20log%E2%82%81%E2%82%80(N!)%22%3A%20true_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Anchored%20mental%20estimate%22%3A%20anchored_mental_log10_factorial(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%2C%20decimal_places%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B%22estimate%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20method%2C%20log10_value%20in%20candidates.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22N%22%3A%20n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22method%22%3A%20method%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_value%22%3A%20log10_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22exponent_error%22%3A%20log10_value%20-%20true_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20rows%0A%0A%20%20%20%20def%20precision_summary_rows()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20decimal_places%20in%20range(1%2C%206)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20errors%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20range(1%2C%20MAX_N%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20estimate%20%3D%20anchored_mental_log10_factorial(n%2C%20decimal_places)%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22estimate%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20error%20%3D%20estimate%20-%20true_log10_factorial(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20errors.append(abs(error))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows.extend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22decimal_places%22%3A%20decimal_places%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22metric%22%3A%20%22Mean%20error%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22value%22%3A%20sum(errors)%20%2F%20len(errors)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22decimal_places%22%3A%20decimal_places%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22metric%22%3A%20%22Worst%20error%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22value%22%3A%20max(errors)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20rows%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20anchored_mental_log10_factorial%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chart_rows%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20easy_log_terms_latex%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20factorization_latex%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20memorized_constants%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20precision_summary_rows%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scientific_notation_from_log10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trim_decimal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20true_log10_factorial%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Approximating%20factorials%20in%20your%20head%0A%0A%20%20%20%20Being%20able%20to%20quickly%20approximate%20the%20order%20of%20magnitude%20of%20factorials%20is%2C%20if%20nothing%20else%2C%20a%20fun%20party%20trick.%20It%20could%20come%20in%20handy%20when%20thinking%20about%20permutations%20like%20the%20number%20of%20possible%20orders%20of%20a%20deck%20of%20cards%2C%20or%20the%20number%20of%20ways%20people%20could%20be%20seated%20at%20an%20event.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20method%2C%20by%20rote%0A%0A%20%20%20%20Here%20is%20the%20method%20for%20approximating%20the%20order%20of%20magnitude%20of%20%24N!%24.%20The%20aim%20is%20to%20find%20the%20approximate%20order%20of%20magnitude%3A%20%24N!%20%5Capprox%2010%5E%7B%5Ctext%7B%3Csomething%3E%7D%7D%24.%20The%20approximations%20are%20intended%20to%20be%20possible%20with%20mental%20arithmetic%20up%20to%20an%20%24N%24%20of%20around%20100.%0A%0A%20%20%20%20Memorize%20these%20logarithm%20values%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(2)%20%26%5Capprox%200.30%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(3)%20%26%5Capprox%200.48%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(7)%20%26%5Capprox%200.85%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20values%20above%20will%20be%20used%20to%20work%20out%20all%20the%20other%20logarithms%20we'll%20need%2C%20by%20combining%20them%20these%20log%20rules%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(x%5Ep%20%5Ctimes%20y%5Eq)%20%26%3D%20p%5Clog_%7B10%7D(x)%20%2B%20q%5Clog_%7B10%7D(y)%2C%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(10x)%20%26%3D%201%20%2B%20%5Clog_%7B10%7D(x)%2C%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(5)%20%26%3D%201%20-%20%5Clog_%7B10%7D(2)%20%5Ctext%7B%20(i.e.%20%24%5Clog_%7B10%7D(5)%24%20does%20not%20need%20to%20be%20memorized).%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Then%20follow%20these%20steps%20to%20approximate%20%24N!%24%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Pick%20an%20%22anchor%22%20value%2C%20%24A%24%2C%20near%20to%20%24N%24%2C%20which%20is%20a%20multiple%20of%2010%20or%205%20and%20whose%20prime%20factors%20only%20include%202%2C%203%2C%205%20and%207%20(matching%20the%20memorized%20logarithm%20values).%0A%20%20%20%202.%20Approximate%20%24%5Clog_%7B10%7D(A)%24%20by%20breaking%20%24A%24%20into%20the%20product%20of%20its%20prime%20factors%2C%20then%20apply%20log%20rules%20until%20reaching%20something%20which%20only%20contains%20the%20logarithms%20of%202%2C%203%20and%207%2C%20which%20can%20be%20substituted%20for%20their%20approximate%20values.%0A%0A%20%20%20%203.%20Approximate%20%24%5Clog_%7B10%7D(A!)%24%20using%20an%20approximation%20%24%5Ctilde%20f(A)%5Capprox%5Clog_%7B10%7D(A!)%24%20based%20on%20the%20Stirling%20formula.%20Here%20is%20where%20%24A%24%20being%20a%20multiple%20of%205%20or%2010%20is%20useful%20for%20keeping%20the%20mental%20arithmetic%20simple.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Ctilde%20f(A)%20%3D%20A%5Cleft(%5Clog_%7B10%7D(A)%20-%200.43%5Cright)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%204.%20To%20get%20back%20to%20%24N!%24%20from%20%24A!%24%20(assuming%20%24N%20%3E%20A%24)%20we'll%20use%20another%20approximation%2C%20%24%5Clog_%7B10%7D(A)%20%5Capprox%20%5Clog_%7B10%7D(A%2B1)%20%5Capprox%20%5Clog_%7B10%7D(A%2B2)%20%5Ccdots%20%5Capprox%20%5Clog_%7B10%7D(N)%24%2C%20so%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(N!)%20%26%3D%20%5Clog_%7B10%7D%5CBigl(A!%20%5Ctimes%20%5Coverbrace%7B(A%2B1)(A%2B2)%5Ccdots(N)%7D%5E%7B(N-A)%5Ctext%7B%20terms%7D%7D%20%5CBigr)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%5Capprox%20%5Clog_%7B10%7D(A!)%20%2B%20(N-A)%5Clog_%7B10%7D(A)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20same%20formula%20works%20when%20%24N%20%3C%20A%24%2C%20but%20the%20explanation%20would%20involve%20division%20rather%20than%20multiplication.%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20all%20in%20all%2C%20the%20approximation%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(N!)%20%5Capprox%20A%5Cleft(%5Clog_%7B10%7D(A)%20-%200.43%5Cright)%20%2B%201%20%2B%20(N-A)%5Clog_%7B10%7D(A)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Note%20that%20this%20could%20be%20simplified%20to%20%24N%5Clog_%7B10%7D(A)%20-%200.43A%20%2B%201%24%2C%20but%20in%20practice%20these%20first%20two%20terms%20involve%20trickier%20multiplication%20than%20the%20unsimplified%20version%20above.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20A%20worked%20example%20following%20the%20rote%20method%0A%0A%20%20%20%20For%20%2452!%24%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Choose%20the%20anchor%20%24A%3D50%24%2C%20which%20is%20a%20multiple%20of%20ten%20with%20prime%20decomposition%20%242%20%5Ctimes%205%5E2%24%20so%20it%20satisfies%20the%20constraints%20on%20picking%20an%20anchor.%0A%20%20%20%202.%20Find%20%24%5Clog_%7B10%7D(50)%20%3D%201%20%2B%20%5Clog_%7B10%7D(5)%20%3D%201%20%2B%201%20-%20%5Clog_%7B10%7D(2)%20%5Capprox%202%20-%200.3%20%3D%201.7%24%0A%20%20%20%203.%20Subtract%20the%20constant%3A%20%241.7%20-%200.43%20%3D%201.27%24%0A%20%20%20%204.%20Multiply%20by%20%24A%24%20and%20add%201%3A%20%2450%20%5Ctimes%201.27%20%2B%201%20%3D%2064.5%24%0A%20%20%20%205.%20Get%20back%20up%20to%20%2452!%24%20approx.%20by%20adding%20%2464.5%20%2B%202%5Clog_%7B10%7D50%20%5Capprox%2064.5%20%2B%203.4%20%3D%2067.9%24%0A%0A%20%20%20%20So%20we%20have%20the%20approximate%20order%20of%20magnitude%2C%20%2452!%20%5Capprox%2010%5E%7B68%7D%24.%20The%20true%20value%20is%20roughly%20%248.07%20%5Ctimes%2010%5E%7B67%7D%24%20so%20this%20method%20has%20found%20the%20nearest%20power%20of%2010%20correctly.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20readable_chart(chart)%3A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chart.configure_axis(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelAngle%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.configure_legend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20symbolSize%3D120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.configure_header(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.configure_title(fontSize%3D17)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.configure_view(strokeWidth%3D0)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20example%0A%0A%20%20%20%20Choose%20a%20number%20and%20the%20steps%20below%20will%20show%20how%20to%20approximate%20its%20factorial%20using%20this%20method.%0A%0A%20%20%20%20You%20can%20also%20see%20what%20would%20happen%20if%20a%20different%20number%20of%20decimal%20places%20were%20used%20of%20all%20of%20the%20constants%20involved.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20selected_n%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D52%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20decimal_places%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**N**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bselected_n%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Decimal%20places%20memorized**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bdecimal_places%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20decimal_places%2C%20selected_n%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20anchored_mental_log10_factorial%2C%0A%20%20%20%20decimal_places%2C%0A%20%20%20%20easy_log_terms_latex%2C%0A%20%20%20%20factorization_latex%2C%0A%20%20%20%20memorized_constants%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20scientific_notation_from_log10%2C%0A%20%20%20%20selected_n%2C%0A%20%20%20%20trim_decimal%2C%0A%20%20%20%20true_log10_factorial%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%20selected_n.value%0A%20%20%20%20places%20%3D%20decimal_places.value%0A%20%20%20%20true_log%20%3D%20true_log10_factorial(n)%0A%20%20%20%20mental%20%3D%20anchored_mental_log10_factorial(n%2C%20places)%0A%20%20%20%20anchor%20%3D%20mental%5B%22anchor%22%5D%0A%20%20%20%20distance%20%3D%20n%20-%20anchor%0A%20%20%20%20constants%20%3D%20memorized_constants(places)%0A%0A%20%20%20%20constant_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22-%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(2)%20%5Capprox%20%7Bconstants%5B'log2'%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22-%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(3)%20%5Capprox%20%7Bconstants%5B'log3'%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22-%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(7)%20%5Capprox%20%7Bconstants%5B'log7'%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22-%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(e)%20%5Capprox%20%7Bconstants%5B'stirling'%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20constant_list%20%3D%20%22%5Cn%22.join(constant_rows)%0A%20%20%20%20correction_expression%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%2B%20%7Bdistance%7D%20%5Ctimes%20%7Bmental%5B'anchor_log'%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20distance%20%3E%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20rf%22-%20%7Babs(distance)%7D%20%5Ctimes%20%7Bmental%5B'anchor_log'%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%20anchor%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20anchor_factorial_steps%20%3D%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B10%7D(1!)%20%3D%200%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base_anchor_factorial_log%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20anchor%20*%20(mental%5B%22anchor_log%22%5D%20-%20constants%5B%22stirling%22%5D)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20anchor_factorial_steps%20%3D%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Banchor%7D!)%0A%20%20%20%20%5Capprox%20%7Banchor%7D%5Cleft(%7Bmental%5B%22anchor_log%22%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%20-%20%7Bconstants%5B%22stirling%22%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%5Cright)%20%2B%201%0A%20%20%20%20%3D%20%7Btrim_decimal(base_anchor_factorial_log)%7D%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.%20Choose%20an%20anchor%20near%20N%20which%20will%20be%20easier%20to%20work%20with%0A%0A%20%20%20%20For%20**%7Bn%7D!**%2C%20the%20selected%20anchor%20is%20**%7Banchor%7D**.%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%7Banchor%7D%20%3D%20%7Bfactorization_latex(anchor)%7D%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.%20Approximate%20the%20anchor's%20logarithm%0A%0A%20%20%20%20With%20constants%20rounded%20to%20%7Bplaces%7D%20decimal%20place%7B%22s%22%20if%20places%20!%3D%201%20else%20%22%22%7D%3A%0A%0A%20%20%20%20%7Bconstant_list%7D%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Banchor%7D)%0A%20%20%20%20%3D%20%7Beasy_log_terms_latex(anchor)%7D%0A%20%20%20%20%5Capprox%20%7Bmental%5B%22anchor_log%22%5D%3A.%7Bplaces%7Df%7D%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.%20Approximate%20the%20log%20of%20the%20anchor%20factorial%0A%0A%20%20%20%20%7Banchor_factorial_steps%7D%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.%20Correct%20from%20the%20anchor%20to%20the%20target%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Bn%7D!)%20%5Capprox%20%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Banchor%7D!)%20%2B%20(%7Bn%7D%20-%20%7Banchor%7D)%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Banchor%7D)%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Bn%7D!)%20%5Capprox%20%7Btrim_decimal(mental%5B%22anchor_factorial_log%22%5D)%7D%20%7Bcorrection_expression%7D%20%3D%20%7Btrim_decimal(mental%5B%22estimate%22%5D)%7D%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Comparison%20with%20the%20true%20value%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20---%20%7C%20---%3A%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Actual%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Bn%7D!)%24%20%7C%20%7Btrue_log%3A.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Approximated%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%7Bn%7D!)%24%20%7C%20%7Bmental%5B%22estimate%22%5D%3A.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Approximation%20-%20actual%20%7C%20%7Bmental%5B%22estimate%22%5D%20-%20true_log%3A%2B.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Actual%20%7Bn%7D!%20%7C%20%7Bscientific_notation_from_log10(true_log)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Approximated%20%7Bn%7D!%20%7C%20%7Bscientific_notation_from_log10(mental%5B%22estimate%22%5D)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20chart_rows%2C%20decimal_places%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20estimate_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(alt.Data(values%3Dchart_rows(decimal_places.value)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(point%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22N%3AQ%22%2C%20title%3D%22N%22%2C%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22log10_value%3AQ%22%2C%20title%3D%22log%E2%82%81%E2%82%80(N!)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22method%3AN%22%2C%20title%3D%22Series%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22N%3AQ%22%2C%20format%3D%22.0f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22method%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22log10_value%3AQ%22%2C%20title%3D%22log%E2%82%81%E2%82%80(N!)%22%2C%20format%3D%22.3f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22exponent_error%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Exponent%20error%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20format%3D%22%2B.3f%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D%22container%22%2C%20height%3D320)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.interactive()%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Estimated%20vs%20true%20factorial%20size%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20readable_chart(estimate_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20chart_rows%2C%20decimal_places%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20error_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20row%20in%20chart_rows(decimal_places.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20row%5B%22method%22%5D%20!%3D%20%22True%20log%E2%82%81%E2%82%80(N!)%22%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20error_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(alt.Data(values%3Derror_rows))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22N%3AQ%22%2C%20title%3D%22N%22%2C%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22exponent_error%3AQ%22%2C%20title%3D%22Estimated%20-%20true%20log%E2%82%81%E2%82%80(N!)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22N%3AQ%22%2C%20format%3D%22.0f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22method%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22exponent_error%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Exponent%20error%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20format%3D%22%2B.3f%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D%22container%22%2C%20height%3D300)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20tolerance_lines%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Data(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22error%22%3A%20-2%2C%20%22label%22%3A%20%22-2%20powers%20of%20ten%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22error%22%3A%20-1%2C%20%22label%22%3A%20%22-1%20power%20of%20ten%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22error%22%3A%201%2C%20%22label%22%3A%20%22%2B1%20power%20of%20ten%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22error%22%3A%202%2C%20%22label%22%3A%20%22%2B2%20powers%20of%20ten%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_rule(strokeDash%3D%5B5%2C%205%5D%2C%20opacity%3D0.45)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22error%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%22label%3AN%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Exponent%20error%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20readable_chart((error_chart%20%2B%20tolerance_lines).interactive())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20mo%2C%20precision_summary_rows)%3A%0A%20%20%20%20summary_chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(alt.Data(values%3Dprecision_summary_rows()))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(point%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22decimal_places%3AO%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Decimal%20places%20memorized%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3Dalt.Axis(labelAngle%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22value%3AQ%22%2C%20title%3D%22Absolute%20exponent%20error%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dalt.Color(%22metric%3AN%22%2C%20title%3D%22Metric%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tooltip%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22decimal_places%3AO%22%2C%20title%3D%22Decimal%20places%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22metric%3AN%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Tooltip(%22value%3AQ%22%2C%20title%3D%22Error%22%2C%20format%3D%22.3f%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D%22container%22%2C%20height%3D260)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20How%20much%20do%20extra%20memorized%20digits%20help%3F%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20readable_chart(summary_chart)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A